052.ЗА ВОСЪЧНАТА ПЧЕЛНА ПИТА – част VI продължение от 051;   ЗА ПЧЕЛНИТЕ КИЛИЙКИ И ТЕХНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ     ЧАСТVI: ДОКАЗАТЕЛСТВО НА ТЕЗАТА ЗА МОДЕЛ НА ПЧЕЛНА КИЛИЙКА ПО КРИТЕРИЙ ЗА МАКСИМАЛНА ПЛЪТНОСТ НА ПИЛОТО          За да се проследи от читателя по-долу описаното доказателство на тезата не са му необходими знания по висша математика . Надявам се, че ще бъдат достатъчни само знания, които биха се придобили вероятно от средния курс на образование. Ако обаче не се интересувате от доказателството на този факт, можете просто да го „прескочите“.          По-долу привеждам доказателство на описаната в пост 052.... теза за модела на пчелната килийка, изградена на предположението, че пчелите изграждат и подреждат килийките за пчели работнички и за търтеи в пчелната пита в съответствие с критерия за максимална плътност на пилото.          Доказателството на тезата се извършва в две относително независими две части:        1.) Доказателство на частта от тезата, отнасяща се до формата и големината на тялото на така изградения модел на пчелна килийка, а именно, доколко построеният модел съвпада с известните данни за формата и големината на реалната пчелна килийка: шест-стенна правилна призма с вписан в нея цилиндър с диаметър, равен да диаметъра на реално изгражданите от пчелите килийки за работнички, респективно, за търтеи.        2.) Доказателство на частта от тезата, отнасяща се до структурата, формата и големината на дъното на модела на пчелната килийка, т.е. доколко дъното на построения модел по тази теза, съвпада с известните данни за дъното на реално изгражданата пчелна килийка. В тази част е необходимо да се докаже, че дъното на модела на пчелната килийка, получено посредством критерия за максимална плътност на килийките от двете страни на питата, е изградено от три ромбоидни плочки, за които са валидни равенствата (виж. Пост. 046, Фиг.3) b = а.(2)^1/2 – големина на големия полудиагонал на ромба с = а.(3)^1/2 – големина на страната на ромба където а – големината на малкия полудиагонал на ромба      От тези равенства, както е доказано в пост.046, ще следва, че големината на тъпите ъгли на ромба ще бъдат 109°28"16.392”, а oстрите - 70°31"43.608”, като двата заедно ще са равни на 180°. Фиг.1. Напречно и надлъжно сечение на модела на пчелна килийка1
      За целите на доказателство ще използвам чертежа от Фиг.1, в горната страна, на който е показан разрез на пчелна килийка от равнина перпендикулярна на осевата линия на модела на пчелната килийка (напречен разрез), а в долната – надлъжен разрез на модела на пчелната килийка по линията QQ.          Доказателството се извършва паралелно с построяването на чертежа от Фиг.1, затова ще следвам и описвам последователността при построяването на двете сечения на модела на пчелната килийка. Освен това паралелно с построяването на чертежа се извършват и текущи извеждания на равенства и определени пресмятания, свързани с целите на доказателството.       1. Най-напред начертаваме произволноедна хоризонтална линия J1;             2. След това начертаваме линията J2, перпендикулярна на линията J1;       3. Начертаваме окръжност с център О1 (пресечна точка на линиите J1 и J2) с отнапред зададен диаметър d = 2.r – диаметър на тялото на “килийката-яйце”;       4. Пресечната точка на начертаната окръжност с линията J2 я обозначаваме като точка t1;       5. С пергел от точка t1 разделяме окръжността на шест равни дъги и получаваме точките t2, t3, t4, t5 и t6. Това са точките (проекции на линии на допиране върху хоризонтално секущата равнина) на допиране със съседните “килийки-яйца”;       6. В съответствие с формулираната теза начертаваме допирателни линии към точките t1,t2, t3, t4, t5 и t6. Пресечните точки на тези допирателни обозначаваме с А, B, C, D, E и F. Получените отсечки АB, BC. CD, DE, EF, FA изобразяват напречното сечение на модела на пчелната килийка. Не са необходими много големи познания за да се докаже, че тези отсечки са равни и че образуват правилен шестоъгълник, и че този шестоъгълник преставлява сечението на модела на пчелната килийка, а вписаната в него окръжност, по построение е равна на диаметъра на пеалната пчелна килийка (вж. т.3). С този факт можем да счетем, че е доказана частта на тезата, касаеща формата и големината на тялото на модела на пчелната килийка.       7. Свързваме т. О1 съответно с т. А, т. Е и т. С . В резултат се получават ромбовете (А,В,С,О1), (C,D,E,O1) и (E,F,A,O1). Те се явяват проекции на дънните ромбоидни плочки върху секущата равнина, която по построение е перпдендикулярна на осевата линия на килийката J2;       8. Построяваме диагоналите на тези ромбове и обозначаваме съотвтните им пресечни точки, съответно, като S1,S2 и S3. Тези три точки са проекции на допирните точки между сферичното дъно на килийката от едната страна на питата с три сферични дъна на килийки от срещуположната страна на питатат. През тези точки са построени три допирателни равни, пресечните линии на които образуват трите ромбоидни плочки на дъното на модела на пчелната килийка.       9. Големите диагонали на тези ромбове са съответно, AC, CE и EA и са точно равни на 2.b – големина на съответните диагонали на дънните ромбоидни плочки.       10. Разглеждаме правоъгълния триъгълник (О1, t4, C), за който знаем, че острите му ъгли са съответно 30 градуса и 60 градуса, а единият му катет е равен на зададения по условие радиус на пчелната килийка r .И определяме неизвестната величина R (прилагайки теоремата на Питагор): R = r.2/(3)^1/2       Между другото, тази величина R , се явява и радиус на описаната около модела на пчелната килийка окръжност (на фигурата не е начертана).  Това още означава, че всички отсечки (О1,С), (О1, Е), (О1, D), (C,D) (D,E), са равни помежду си и са също равни на R . Освен това отсечката (O1,S2) е равна на отсечката (S2,D) и съотвтно равни на R/2 . 10. Разглеждаме успоредника (О1,t4, S2, C). От него получаваме равенството b = r.      Това означава, че големият полудиагонал на дънните ромбоидни плочки на модела на пчелната килийка е равен на зададеният радиус на пчелната килийка.        11. Построяването на надлъжното сечение на модела на пчелната килийка започваме с избора на произволна точка О2, която да лежи на осевата линия на килийката J2;        12. С център О2 начертаваме окръжност с диаметър d = 2.r . Долната половина на тази окръжност е сечение на сферичното дъно на килийката-яйце.       13. Начертаваме линията J3 от точка S2, която да е успоредна на осевата линия J2 . Пресечната и точка с окръжността (т.12) отбелязваме с S22. Точката S22 е една от допирните точки на сферичното дъно на килийката със сферично дъно на килийка от другата страна на питата.       14. Според тезата ми през т. S22 трябва да се прекара допирателната линия L1. Тази линия L1 е сечение на равнината през допирната точка на сферичното дъно на килийката. Пресечната точка на L1 с осевата линия на килийката, отбелязана като О4, е най-ниската (“върхът” на дъното) точка на дъното на модела на килийката.       15. Построяваме успоредна на осевата линия J2 линията J4. Линията J4, която е и ръб на килийката, се пресича с линията L1 в точка D.       16. През точките D, S22 и O4 прекарваме съответно линиите L2, L3 и L4, които да са перпендикулярни на осевата линия J2.       17. Построяваме линиите J5, J6 и J7 успоредни на осевата линия на килийката J2.       18 От пресечните точки A,F,S11,P и M, между линиите L2, L3, L4, които са перпендикулярни, и линиите J4, J5,J6, J7, които пък са успредни на осевата линия на килийката, се построява проекцията (А,О4,S22,F)на другата дънна ромбоидна плочка върху надлъжната секуща равнина на килийката.       19. Отсечката (А,О4), в тази проекция, е точно равна на “с” -големината на страната на правилните ромбоидни плочки на дъното;       20. Другата неизвестна величина е дължината на отсечката (O4,S22), която е равна на “а” - големината на половината от малкия диагонал на ромбоидните дънни плочки;       21. Отсечката (О3, S22) e равна на R/2. След заместване стойността на R (вж. т.9 по-горе), за големината на тази отсечка се получава израза r/(3)^1/2;       22. Разглеждаме правоъгълния триъгълник (O2,O3,S22). За него знаем големината на хипотенузата му (О2,С22) и големината на на единия катет(О3,С22). По тези данни можем да определим израз, по който да изчислим ъгъла (O3,О2,S22) при върха О2 от разглеждания триъгълник. Този ъгъл е също равен на ъгъла (O3,S22,O4) и на ъгъла (D,S22,P) – ъгъл на наклона на ромбоидната плочка на дъното спрямо хоризонта (според фигурата) Синусът на този ъгъл се получава равен на 1/(3)^1/2 , а косинусът му е = (2/3)^1/2            23. Разглеждаме правоъгълния триъгълник (О3,О4,S22). За него знаем големината на единия катет (О3,S22) и косинуса на ъгъла между този катет и хипотенузата му. От тези данни определяме „а“ - големината на половината от малкия диагонал на ромбоидната деънна плочка, а именно а = r/(2)^1/2          24. От т. 10 знаем, че b = r. Заместваме в горното равенство и получаваме търсената връзката между двата полудиагонала на дънните ромбоидни плочки b = а.(2)^1/2          25. От правоъгълния триъгълник (А,О3,О4), за който знаем големината на катета А,О3 = R = r.2/(3)^1/2 = b.2/(3)^1/2 = 2.a.(2/3)^1/2 и големината на другия катет (О3,О4) = a.(1/3)^1/2 , определяме големината на хипотенузата „с“, която е и големина на страната на правилните ромбоидни дънни плоки (с )² = ( 2.a.(2/3)^1/2)² + (a.(1/3)^1/2)² = 3.(a)² откъдето окончателно получаваме с = а.(3)^1/2  
Тема с продължение: За желаещите да продължат.... моля кликнете на следващия постинг