Постинг
25.11.2009 17:59 -
054.ЗА ВОСЪЧНАТА ПЧЕЛНА ПИТА – част VIІІ
Автор: beehive
Категория: Хоби
Прочетен: 5041 Коментари: 0 Гласове:
Последна промяна: 25.11.2009 19:07
Прочетен: 5041 Коментари: 0 Гласове:
1
Последна промяна: 25.11.2009 19:07
054.ЗА ВОСЪЧНАТА ПЧЕЛНА ПИТА – част VIІІ
продължение от 053;
ЗА ПЧЕЛНИТЕ КИЛИЙКИ И ТЕХНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ
ЧАСТVIІІ: ПРОВЕРКА НА ВЕРНОСТТА НА ТВЪРДЕНИЕТО ЗА МИНИМАКСНАТА ОПТИМИЗАЦИЯ НА МОДЕЛА НА ПЧЕЛНА КИЛИЙКА
В постинг 050.ЗА ВОСЪЧНАТА ПЧЕЛНА ПИТА – част IV бях написал,
че дефинираната от M. Reamur задача за пчелната восъчна килийка, измерванията на която са направени от Maraldi, решена веднаж от математика Koenig правилно и коректно както твърди пререшилият задачата, известният шотландски математик Maclaurin, няма да имам намерение нито да я оспорвам нито да я ревизирам или да я проверявам. Но нещата малко се промениха. За по-голяма пълнота на настоящия трактат, а и да проверя правилността на формулирането й, реших да вмъкна едно мое достатъчно опростено решение на задачата за съотношението между обема и повърхността на пчелната восъчна килийка.
Видно е, че отсечките OA, OB, OC, OD, OE, OF, както и страните на шестоъгълника AB, BC,CD,DE,EF, FA са равни по големина и равни на радиуса на описаната около шестоъгълника окръжност “R”. Освен това всички те образуват шест на брой равностранни триъгълници. Височините на тези триъгълници, към която и да е тяхна страна, са равни по големина и равни на големината на радиуса на вписаната в шестоъгълника окръжност “r”. Това твърдение е илюстрирано на фигурата за равностранния триъгълник “OED”. Тогава лицето на разглеждания шестоъгълник ще бъде равен на сбора от лицата на съставните нему равностранни триъгълници. Или Socн = 6.Sтр., където с Sтр обозначих лицето на един от еднаквите равностранни триъгълници, образуващи шестоъгълника.
Лицето на триъгълника ще се дава от израза (Лицето на триъгълник е равно на полу-произведението от една от страните му и височината му, спусната към нея)
Sтр = 1/2.(R.r).
В конкретния случай R е големината на страната ED, а r е големината на височината, спусната от върха О към страната ED.
Тогава за лицето на шестоъгълника (основа на разглеждания модел на пчелна килийка с плоско дъно) можем да запишем Socн = 6.Sтр = 6.1/2.(R.r) = 3.R.r ,
а за обема на килийката с плоско дъно получаваме
Vk = Socн.H = 3.R.r.Н (1) Връзката между радиуса на вписаната и радиуса на описаната окръжности се дава с формулата 4.r2 = 3.R2 Сега да определим обема на модела на пчелна килийка с ромбоидно дъно, който е показан на фиг.2. Той се състои от същата шестостенна призма без горно дъно (капаче), но с долно дъно, което е образувано от три еднакви ромба BCDO, DEFO и FABO. Единият от диагоналите на тези ромбове, съответно BD, DF и FB, e с постоянна големина, която е равна на диаметъра на вписаната в шестоъгълника окръжност d = 2.r. Другите им диагонали, съответно CO, EO и BO, са произволни по големина и могат да се променят едновременно от стойност, равна на радиуса на описаната окръжност R (плоско дъно) до стойност, клоняща към безкрайност (безкрайно остро дъно). При това височина “h”на образуваната пирамидата FDBO (връх на пирамидата е точка “О”) ще се променя от h = 0 (плоско дъно) до безкрайност (безкрайно остро дъно). Нека сега да определим обема на модела на пчелната килийка от фиг.2 при произволно зададена големина на височината “h”на правилната триъгълна пирамида BDFO (връх на пирамидата е точка “О”).
Фиг.2 - Пчелната килийка (без горно дъно) във форма на правилна шестостенна призма с долно дъно, което е образувано от три еднакви ромба.
Обемът на килийката от Фиг. 2 може да се определи от израза
Vk = V1 + V2 – V3
Където: V1- е обемът на правилната шестостенна призма с височина “Н”;
V2 – е обемът на правилната триъгълна пирамида BDFO с основа равностранния триъгълник BDF и връх O, който се намира на височина “h” от основата BDF;
V3 – е общият обем на трите еднакви триъгълни пирамиди с основи BCD, DEF и FAB, чиито върхове лежат върху ръбовете на призмата на височина “h” от основите им.
Обемът V1, ние вече сме го определили , и за него можем да запишем
V1= 3.R.r.Н
Oбемът на пирамидата BDFO е
V2= 1/3. SBFD . h = r2. 31/2. h Общият обем на трите еднакви пирамиди BCDО, DEFО и FABО е V3 = 1/3.SBCD . h + 1/3.SDEF .h + 1/3 SFAB . h = SBCD . h + SDEF . h + SFAB . h = (SBCD + SDEF + SFAB ). h = 3.r.(1/2).R. h = 3. r .(r/31/2). h = r2. 31/2. h V3 = r2. 31/2. h
Заместваме получените обеми и получаваме следния израз за обема на модела на пчелната килийка (без горно дъно) във форма на правилна шестостенна призма , чието долно дъно е образувано от три еднакви ромба Vk = V1 + V2 – V3 = 3.R.r.Н + r2. 31/2. h - r2. 31/2. h= 3.R.r.Н Vk = V1 + V2 –V3= 3.R.r.Н (2) От изразите (1) и (2) можем да направим извода,че обемът на модела на восъчната пчелна килийка (без горно дъно) във форма на правилна шестостенна призма с долно дъно, което е образувано от три еднакви ромба, не зависи от големината на диагоналите CO, EO и BO на тези ромбове, респ. от големината на височината “h”, и винаги е равен на обема на модела на восъчната пчелна килийка (без горно дъно) с плоско долно дъно във формата на правилна шестоъгълна призма. Нека сега да определемим лицето на моделите на пчелна килийка с плоско дъно от Фиг.1. То се определя от формулата Sk = Socн + P.H където: Socн= 3.R.r – лице на основата на призмата; P = 6.R - периметър на правилната шестоъгълна основа H = височина на призмата Като заместим се получава Sk = Socн + P.H = 3.R.r + 6.R.H Сега вече ще пристъпим към относително по-трудния момент на определяне лицето на модела на пелната килийка от Фиг.2.
То се определя от формулата
Sk = P.H– ( AB + BC + CD + DE + EF + FA ).h/2 + 2.SBDFO където: - P.H = 6.R.H - околна повърхнина на призма с височина Н - ( AB + BC + CD + DE + EF + FA ).h/2 = 6.R.h/2 = 3.R.h - общо лице на триъгълните повърхнини, които се изрязват от околната повърхнина на призмата с височина Н; - SBDFO - лицето на околната повърхнина на правилната триъгълна пирамида BDFO , а 2.SBDFO- ще съответства на общото лице на трите ромба, формиращи дъното на килийката. SBDFO = p.a Където: p - полупериметър на основата на пирамидата а – дължината на апотемата, която в разглеждания случай ,съвпада с дължината на полудиагонала на ромбовете p = (2.r +2.r + 2.r)/2 = 3.r a2 = h2 + (1/2.R)2 откъдето а = (h2 + (1/2.R)2 )1/2 = (h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Тогава SBDFO = 3.r.(h2 + (1/2.R)2 )1/2 Откъдето следва, че може да се запише, следния израз за лицето на пчелна килийка с ромбоидно дъно
Sk = 6.R.H- 3.R.h + 6.r.(h2 + 1/4.(R)2 )1/2 =
= 6.R.H- 3.R.h + 6.r.а Сега да намерим първата производна на израза за лицето на пчелната килийка като функция на “h”
(Sk)’ = - 3.R + 6.r.h/(h2 + 1/4.(R)2 )1/2 = - 3.R + 6.r.h/а Известно е от математиката, че нулите на първата производна (Sk)’ = 0 определят точките, в които изходната функция има екстремум (максимум или минимум). От това равенство ще последва 6.r.h/а = 3.R 2.r.h= R.(h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Решаваме спрямо h и получаваме следния израз за стойността на h, при която се получава екстремум се получава от израза h2 = 1/8.(R)2 Откъдето h1 = +(1/8)1/2.R и h2 = - (1/8)1/2.R В разглеждания случай стойността на
h1 = +(1/8)1/2.R
е точката, която определя екстремума на лицето на пчелна килийка. Това следва от факта, че височината h е реална положителна величина, което означава, че тя не може да приема отрицателни стойности. За да проверим, че тази стойност на височината
h = h1 определя минимум (а не максимум) на лицето на разглежданата пчелна килийка е необходимо да проверим, дали за тази стойност на h = h1 втората производна на Sk е по-голяма от нула. Намираме втората произвадна на Sk и получаваме (Sk)’’ = 2.r3/а3 където апотемата
а = (h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Заместваме височината h = h1 и лесно (дори е очевидно за някои от ччитателите) се доказва, че втората производна (Sk)’’ на лицето Sk е по-голяма от нула. Сега ми се ще да отделя няколко реда в които да опиша как се проверява дали отношението между двата полудиагонала на ромбовете при тази оптимална стойност на h = h1 е равно на (2)1/2. Единият полудиагонал на ромба е равен на “r”, а другият е равен на дължината на апотемата “а”.Нека тогава да определим на колко е равна апотемата при оптималната стойност на “h = h1”. Знаем вече, че израза за апотемата е a = (h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Заместваме h с получената по-горе стойност h1 и получаваме а= (1/8.(R)2 + 1/4.(R)2 )1/2= (3/8.(R)2 )1/2 = R.(3/8)1/2 Сега вече можем да определим отношението между двата полудиагонала на ромба от израза r/a = r/ R.(3/8)1/2= R.(3/4)1/2/ R.(3/8)1/2= (2)1/2 Този израз напълно потвърждава получената в трактата по-преди стойност за отношението на полудиагоналите на ромбовете, които формират дъното на пчелната восъчна килийка. С тези анализи и пресмятания се потвърждава верността на твърдението за минимаксната оптимизация на модела на пчелната восъчна килийка. В заключение би трябвало да направя една доста съществена забележка относно разпространеното убеждение, че пчелната восъчна килийка съответства на оптимизационния принцип “максимален обем при минимална повърхност”. Това твърдение, както може да се виде от по-горе направеното изложение, трябва вечче да се счита за невярно. Това е така защото е видно, че обемът на пчелната восъчна килийка се определя преди всичко от нейният диаметър 2r и височина H, а не от съотношението на ъглите (или диагоналите) на ромбовете, от които е образувано дъното на пелната килийка. Оптималното съотношение на ъглите (или диагоналите) на ромбовете определя, преди всичко, минималната стойност на повърхността на килийката. Затова считам за по правилно да се твърди, че пчелната восъчна килийка съответства на оптимизационния принцип “зададен обем при минимална повърхност”. От този факт вече лесно можем да си обясним защо при търтеевата восъчна килийка, която е с по-голям обем от пчелната восъчна килийка, оптимизацията се получава пак при същото отношение на полудиагоналите на ромбовете, които формират дъното на търтеевата восъчна килийка. Атанас К.Калчев ЕС, България 9020, Варна Ноември, 2009 година
Тема с продължение: За желаещите да продължат.... моля кликнете на следващия постинг
Видно е, че отсечките OA, OB, OC, OD, OE, OF, както и страните на шестоъгълника AB, BC,CD,DE,EF, FA са равни по големина и равни на радиуса на описаната около шестоъгълника окръжност “R”. Освен това всички те образуват шест на брой равностранни триъгълници. Височините на тези триъгълници, към която и да е тяхна страна, са равни по големина и равни на големината на радиуса на вписаната в шестоъгълника окръжност “r”. Това твърдение е илюстрирано на фигурата за равностранния триъгълник “OED”. Тогава лицето на разглеждания шестоъгълник ще бъде равен на сбора от лицата на съставните нему равностранни триъгълници. Или Socн = 6.Sтр., където с Sтр обозначих лицето на един от еднаквите равностранни триъгълници, образуващи шестоъгълника.
Лицето на триъгълника ще се дава от израза (Лицето на триъгълник е равно на полу-произведението от една от страните му и височината му, спусната към нея)
Sтр = 1/2.(R.r).
В конкретния случай R е големината на страната ED, а r е големината на височината, спусната от върха О към страната ED.
Тогава за лицето на шестоъгълника (основа на разглеждания модел на пчелна килийка с плоско дъно) можем да запишем Socн = 6.Sтр = 6.1/2.(R.r) = 3.R.r ,
а за обема на килийката с плоско дъно получаваме
Vk = Socн.H = 3.R.r.Н (1) Връзката между радиуса на вписаната и радиуса на описаната окръжности се дава с формулата 4.r2 = 3.R2 Сега да определим обема на модела на пчелна килийка с ромбоидно дъно, който е показан на фиг.2. Той се състои от същата шестостенна призма без горно дъно (капаче), но с долно дъно, което е образувано от три еднакви ромба BCDO, DEFO и FABO. Единият от диагоналите на тези ромбове, съответно BD, DF и FB, e с постоянна големина, която е равна на диаметъра на вписаната в шестоъгълника окръжност d = 2.r. Другите им диагонали, съответно CO, EO и BO, са произволни по големина и могат да се променят едновременно от стойност, равна на радиуса на описаната окръжност R (плоско дъно) до стойност, клоняща към безкрайност (безкрайно остро дъно). При това височина “h”на образуваната пирамидата FDBO (връх на пирамидата е точка “О”) ще се променя от h = 0 (плоско дъно) до безкрайност (безкрайно остро дъно). Нека сега да определим обема на модела на пчелната килийка от фиг.2 при произволно зададена големина на височината “h”на правилната триъгълна пирамида BDFO (връх на пирамидата е точка “О”).
Фиг.2 - Пчелната килийка (без горно дъно) във форма на правилна шестостенна призма с долно дъно, което е образувано от три еднакви ромба.
Обемът на килийката от Фиг. 2 може да се определи от израза
Vk = V1 + V2 – V3
Където: V1- е обемът на правилната шестостенна призма с височина “Н”;
V2 – е обемът на правилната триъгълна пирамида BDFO с основа равностранния триъгълник BDF и връх O, който се намира на височина “h” от основата BDF;
V3 – е общият обем на трите еднакви триъгълни пирамиди с основи BCD, DEF и FAB, чиито върхове лежат върху ръбовете на призмата на височина “h” от основите им.
Обемът V1, ние вече сме го определили , и за него можем да запишем
V1= 3.R.r.Н
Oбемът на пирамидата BDFO е V2= 1/3. SBFD . h = r2. 31/2. h Общият обем на трите еднакви пирамиди BCDО, DEFО и FABО е V3 = 1/3.SBCD . h + 1/3.SDEF .h + 1/3 SFAB . h = SBCD . h + SDEF . h + SFAB . h = (SBCD + SDEF + SFAB ). h = 3.r.(1/2).R. h = 3. r .(r/31/2). h = r2. 31/2. h V3 = r2. 31/2. h
Заместваме получените обеми и получаваме следния израз за обема на модела на пчелната килийка (без горно дъно) във форма на правилна шестостенна призма , чието долно дъно е образувано от три еднакви ромба Vk = V1 + V2 – V3 = 3.R.r.Н + r2. 31/2. h - r2. 31/2. h= 3.R.r.Н Vk = V1 + V2 –V3= 3.R.r.Н (2) От изразите (1) и (2) можем да направим извода,че обемът на модела на восъчната пчелна килийка (без горно дъно) във форма на правилна шестостенна призма с долно дъно, което е образувано от три еднакви ромба, не зависи от големината на диагоналите CO, EO и BO на тези ромбове, респ. от големината на височината “h”, и винаги е равен на обема на модела на восъчната пчелна килийка (без горно дъно) с плоско долно дъно във формата на правилна шестоъгълна призма. Нека сега да определемим лицето на моделите на пчелна килийка с плоско дъно от Фиг.1. То се определя от формулата Sk = Socн + P.H където: Socн= 3.R.r – лице на основата на призмата; P = 6.R - периметър на правилната шестоъгълна основа H = височина на призмата Като заместим се получава Sk = Socн + P.H = 3.R.r + 6.R.H Сега вече ще пристъпим към относително по-трудния момент на определяне лицето на модела на пелната килийка от Фиг.2.
То се определя от формулата
Sk = P.H– ( AB + BC + CD + DE + EF + FA ).h/2 + 2.SBDFO където: - P.H = 6.R.H - околна повърхнина на призма с височина Н - ( AB + BC + CD + DE + EF + FA ).h/2 = 6.R.h/2 = 3.R.h - общо лице на триъгълните повърхнини, които се изрязват от околната повърхнина на призмата с височина Н; - SBDFO - лицето на околната повърхнина на правилната триъгълна пирамида BDFO , а 2.SBDFO- ще съответства на общото лице на трите ромба, формиращи дъното на килийката. SBDFO = p.a Където: p - полупериметър на основата на пирамидата а – дължината на апотемата, която в разглеждания случай ,съвпада с дължината на полудиагонала на ромбовете p = (2.r +2.r + 2.r)/2 = 3.r a2 = h2 + (1/2.R)2 откъдето а = (h2 + (1/2.R)2 )1/2 = (h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Тогава SBDFO = 3.r.(h2 + (1/2.R)2 )1/2 Откъдето следва, че може да се запише, следния израз за лицето на пчелна килийка с ромбоидно дъно
Sk = 6.R.H- 3.R.h + 6.r.(h2 + 1/4.(R)2 )1/2 =
= 6.R.H- 3.R.h + 6.r.а Сега да намерим първата производна на израза за лицето на пчелната килийка като функция на “h”
(Sk)’ = - 3.R + 6.r.h/(h2 + 1/4.(R)2 )1/2 = - 3.R + 6.r.h/а Известно е от математиката, че нулите на първата производна (Sk)’ = 0 определят точките, в които изходната функция има екстремум (максимум или минимум). От това равенство ще последва 6.r.h/а = 3.R 2.r.h= R.(h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Решаваме спрямо h и получаваме следния израз за стойността на h, при която се получава екстремум се получава от израза h2 = 1/8.(R)2 Откъдето h1 = +(1/8)1/2.R и h2 = - (1/8)1/2.R В разглеждания случай стойността на
h1 = +(1/8)1/2.R
е точката, която определя екстремума на лицето на пчелна килийка. Това следва от факта, че височината h е реална положителна величина, което означава, че тя не може да приема отрицателни стойности. За да проверим, че тази стойност на височината
h = h1 определя минимум (а не максимум) на лицето на разглежданата пчелна килийка е необходимо да проверим, дали за тази стойност на h = h1 втората производна на Sk е по-голяма от нула. Намираме втората произвадна на Sk и получаваме (Sk)’’ = 2.r3/а3 където апотемата
а = (h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Заместваме височината h = h1 и лесно (дори е очевидно за някои от ччитателите) се доказва, че втората производна (Sk)’’ на лицето Sk е по-голяма от нула. Сега ми се ще да отделя няколко реда в които да опиша как се проверява дали отношението между двата полудиагонала на ромбовете при тази оптимална стойност на h = h1 е равно на (2)1/2. Единият полудиагонал на ромба е равен на “r”, а другият е равен на дължината на апотемата “а”.Нека тогава да определим на колко е равна апотемата при оптималната стойност на “h = h1”. Знаем вече, че израза за апотемата е a = (h2 + 1/4.(R)2 )1/2 Заместваме h с получената по-горе стойност h1 и получаваме а= (1/8.(R)2 + 1/4.(R)2 )1/2= (3/8.(R)2 )1/2 = R.(3/8)1/2 Сега вече можем да определим отношението между двата полудиагонала на ромба от израза r/a = r/ R.(3/8)1/2= R.(3/4)1/2/ R.(3/8)1/2= (2)1/2 Този израз напълно потвърждава получената в трактата по-преди стойност за отношението на полудиагоналите на ромбовете, които формират дъното на пчелната восъчна килийка. С тези анализи и пресмятания се потвърждава верността на твърдението за минимаксната оптимизация на модела на пчелната восъчна килийка. В заключение би трябвало да направя една доста съществена забележка относно разпространеното убеждение, че пчелната восъчна килийка съответства на оптимизационния принцип “максимален обем при минимална повърхност”. Това твърдение, както може да се виде от по-горе направеното изложение, трябва вечче да се счита за невярно. Това е така защото е видно, че обемът на пчелната восъчна килийка се определя преди всичко от нейният диаметър 2r и височина H, а не от съотношението на ъглите (или диагоналите) на ромбовете, от които е образувано дъното на пелната килийка. Оптималното съотношение на ъглите (или диагоналите) на ромбовете определя, преди всичко, минималната стойност на повърхността на килийката. Затова считам за по правилно да се твърди, че пчелната восъчна килийка съответства на оптимизационния принцип “зададен обем при минимална повърхност”. От този факт вече лесно можем да си обясним защо при търтеевата восъчна килийка, която е с по-голям обем от пчелната восъчна килийка, оптимизацията се получава пак при същото отношение на полудиагоналите на ромбовете, които формират дъното на търтеевата восъчна килийка. Атанас К.Калчев ЕС, България 9020, Варна Ноември, 2009 година
Тема с продължение: За желаещите да продължат.... моля кликнете на следващия постинг
Следващ постинг
Предишен постинг
Няма коментари
Търсене
Най-четени
1. zahariada
2. radostinalassa
3. leonleonovpom2
4. kvg55
5. varg1
6. wonder
7. planinitenabulgaria
8. sparotok
9. mt46
10. hadjito
11. getmans1
12. stela50
13. deathmetalverses
14. samvoin
2. radostinalassa
3. leonleonovpom2
4. kvg55
5. varg1
6. wonder
7. planinitenabulgaria
8. sparotok
9. mt46
10. hadjito
11. getmans1
12. stela50
13. deathmetalverses
14. samvoin
Най-активни
1. sarang
2. radostinalassa
3. lamb
4. vesonai
5. hadjito
6. manoelia
7. samvoin
8. bateico
9. mimogarcia
10. getmans1
2. radostinalassa
3. lamb
4. vesonai
5. hadjito
6. manoelia
7. samvoin
8. bateico
9. mimogarcia
10. getmans1
